Krótki wykład Teorii Galois

Krótki wykład Teorii Galois

Na początku XIX wieku nastąpił przełom w matematyce. Po raz pierwszy w historii pytanie „Jak to zrobić?” zostało zastąpione pytaniem „Czy to jest wykonalne?” Począwszy od XVI wieku, kiedy to wyprowadzono wzory na rozwiązywanie równań stopnia trzeciego i czwartego, przez ponad trzy stulecia bezskutecznie szukano podobnych dla równań stopnia piątego, zanim ostatecznie dowiedziono, że takie wzory nie istnieją. Dokonało tego niezależnie od siebie trzech matematyków: Włoch Paolo Ruffini, Norweg Niels Henrik Abel oraz Francuz Évariste Galois, którego nazwisko kojarzymy najsilniej z omawianą teorią. Odkrycie to opierało się na teorii permutacji, rozwiniętej przez wymienionych matematyków do abstrakcyjnej postaci teorii grup. Był to początek algebry, jaką znamy obecnie. Ze współczesnego punktu widzenia teoria Galois ukazuje związek teorii grup z teorią rozszerzeń ciał, która stanowi naturalny pomost łączący grupy z teorią równań. Zaliczamy do niej także zagadnienia wykonalności (bądź nie) konstrukcji geometrycznych (w tym najbardziej znanej kwadratury koła), którymi zajmowali się inni dziewiętnastowieczni matematycy. Książka ta jest zwięzłym podręcznikiem teorii Galois, zawierającym treści, które można przekazać słuchaczom w ciągu 30 godzin...
Zarys topologii ogólnej z elementami teorii homotopii

Zarys topologii ogólnej z elementami teorii homotopii

Książka jest podręcznikiem przedmiotu Typologia, realizowanego na drugim stopniu studiów matematycznych UKW, a jego treść może być przekazana w ciągu 30 godzin wykładowych. Oprócz podstawowych pojęć typologii ogólnej, książka omawia także dwa inne zagadnienia, zwykle nieporuszane w tego typu opracowaniach. Pierwszym z nich są elementy typologii geometrycznej, ilustrowane rysunkami i odwołujące się do wyobraźni przestrzennej Czytelnika (zawarte tu idee widziane okiem artysty przedstawia rysunek Eschera z pierwszej strony okładki). Drugie zagadnienie to fragment teorii homotopii, zwieńczony definicją grupy podstawowej przestrzeni topologicznych problemów na język algebry, w którym ich rozwiązanie jest znacznie łatwiejsze. Książka nie zakłada znajomości topologii metrycznej, wykładanej na pierwszym stopniu studiów matematycznych, choć z drugiej strony wiedza Czytelnika na ten temat jest pożądana, ponieważ pozwala porównywać obie teorie – mniej ogólną i ogólniejszą. Ponieważ autor jest algebraikiem, treść podręcznika odzwierciedla jego priorytety i preferencje, z natury rzeczy odmienne od gustów topologa. Sposób wyłożenia przedmiotu jest tu więc nieco inny niż w podobnych opracowaniach, ale – jak wierzy autor – równie spójny i...